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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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3. Bevor wir zum casus irreducibilis zurückkehren, wollen wir die zuletzt gesammelten Erkenntnisse auf die Gleichung x3 −1 = 0 anwenden. Im Bereich der reellen Zahlen ist offensichtlich x1 = 1 die einzige Lösung der Gleichung. Für den Bereich der komplexen Zahlen folgt aus der Moivre’schen Formel, dass die Gleichung noch zwei weitere Lösungen haben muss: Beide liegen, wie in Bild 7 dargestellt, auf dem Einheitskreis und bilden zur positiven Halbachse einen Winkel von 2π/3 beziehungsweise 4π/3, so dass insgesamt ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Um auf dieser Basis eine kubische Gleichung der reduzierten Form x3 + px + q = 0 zu lösen, nimmt man zunächst eine Transformation x = sy vor, wobei der Parameter s so gewählt wird, dass die entstehende Gleichung y3 + p q y+ 3 =0 2 s s die gewünschte Form annimmt. Dies ist für s = 2 − p 3 der Fall: Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen y3 − 3 3q y− 4 8p 1 − 23 =0 p 3 Eine Lösung der reduzierten kubischen Gleichung x3 + px + q = 0 erhält man damit ausgehend von einem Winkel ψ mit 3q 2p cos3ψ = 1 − p 3 durch x=2 − p 3 cosψ , wobei diese Vorgehensweise freilich nur funktioniert, sofern die Bedingungen p < 0 und 3q 2p 1 − p 3 ≤1 erfüllt sind.

N. Grund ist, dass die Zahl „1“ auf einen von n Plätzen getauscht werden kann, während für die Zahl „2“ nur noch n–1 Plätze zur Verfügung stehen und so weiter. ·3·2·1. , σ(n). Symbolisch notiert man dafür n ⎞ 2 ⎛ 1 ... ⎜ ⎟. ⎝ σ (1) σ ( 2 ) σ ( n )⎠ In speziellen Fällen kann es durchaus angebracht sein, die allgemeine Notation durch eine plakativere zu ersetzen. Wie werden dies bei den so genannten zyklischen Permutationen, die alle Zahlen von 1 bis n in irgendeiner Reihenfolge reihum vertauschen, praktizieren und beispielsweise 1 → 2 → 3 → 4 → 1 statt ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎟ schreiben.

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