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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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13. Sei a ein Ideal in einem kommutativen Ring A. Ein Ausdruck von a n als endlicher Schnitt a = qi primärer Ideale qi heißt Primärzerlegung von a. Sind die i=1 √ qi paarweise verschieden und gilt qi ⊃ qj für alle i, so heißt die Primärzerlegung j=i minimal. 14. Nach dem vorletzten Hilfssatz können wir jede Primärzerlegung eines Ideals zu einer minimalen reduzieren. 15. Im allgemeinen muß nicht jedes Ideal eine Primärzerlegung besitzen. Im Falle, daß es eine hat, heißt es zerlegbar. 16. Sei a ein zerlegbares Ideal in einem kommutativen Ring A.

Die entsprechende Verallgemeinerung einer Potenz einer Primzahl ist ein Primärideal. Sei A ein kommutativer Ring. 1. In Ideal q in A heißt primär, falls 1 ∈ / q und falls aus xy ∈ q schon x ∈ q oder y n ∈ q für ein n ∈ N0 folgt. Das Ideal q ist also genau dann primär, falls die nilpotenten Elemente in A/q gerade die Nullteiler in A/q sind. 2. Jedes Primideal in A ist auch primär. 3. Sei φ : A → B ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Ist dann q ein primäres Ideal in B, ist die Kontraktion A ∩ q primär in A, denn A/(A ∩ q) ist ein Unterring von B/q.

1. In allen Fällen ist nachzuweisen, daß die so definierten Abbildungen wohldefiniert sind und Umkehrungen besitzen. Wir beweisen dies exemplarisch am ∼ Beispiel (M ⊗ N ) ⊗ P → M ⊗ N ⊗ P, (x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ y ⊗ z. 2. Sei zunächst z ∈ P . Die Abbildung M × N → M ⊗ N ⊗ P, (x, y) → x ⊗ y ⊗ z ist bilinear in x, y und induziert damit einen Homomorphismus M ⊗ N → M ⊗ N ⊗ P, x ⊗ y → x ⊗ y ⊗ z. 3. Die Abbildung (M ⊗ N ) × P → M ⊗ N ⊗ P, (t, z) → t ⊗ z ist bilinear in t, z und induziert damit einen Homomorphismus (M ⊗ N ) ⊗ P → M ⊗ N ⊗ P, (x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ y ⊗ z.

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