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By Werner Lütkebohmert

Beginnend mit der Fragestellung nach zuverlässiger Datenübertragung wird die elementare lineare Codierungstheorie dargestellt. Insbesondere wird das challenge der Konstruktion von optimalen Codes herausgearbeitet. Dieses anspruchsvolle challenge wird mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst. Das Buch liefert einen schnellen elementaren Zugang zu den algebraischen Kurven und führt den Leser an die grundlegenden Sätze von Bezout und Riemann-Roch heran. Weiterhin werden klassische Fragen von E. Artin und A. Weil über die Zetafunktion eines algebraischen Funktionenkörpers ebenfalls vollständig behandelt. Außerdem werden algebraische Kurven über endlichen Körpern mit vielen rationalen Punkten konstruiert. Nach der mehr theoretischen Lösung des difficulties optimaler Codes wird abschließend der algorithmische Zugang von der Codierung bis zur Decodierung behandelt.

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Beweis. 5. "-+" Wegen (JI,s, hc,t) = 1 gilt es eine ungerade Anzahl von Punkten X E V mit hs(x), hc,t(x) = 1 . Mit 4. folgt daraus m = card(I U JC) ; also gilt M = I U JC . Wegen card(I)::; card(J) gilt card(JC)::; card(I) . Also folgt m = card(M) = card(I U JC) + card(JC) < card(J) + card(JC) card (I) m - card(I n JC) . card(I n JC) card(I n JC) Somit ist card(I) = card(J) und In JC = 0; also Ie J . Daraus folgt 1= J . "f-" 1m Fall 1= Jist x:= (Xl, ... ,Xn) E V , das durch Xi:= Si fUr i E lund Xi := ti fUr i E M - I definiert ist, das einzige X E V mit hs(x)· hs(x) = 1 .

1,1, ... ,1) , so ist 1 durch das zugehorige 2m - Tupel seiner Werte voIlstandig bestimmt. In dieser Weise solI A mit IF2' fUr n = 2m identifiziert werden. Wir identifizieren die Elemente von V mit den Zahlen 0,1, ... , 2m - 1 , indem wir jeder Zahl ihre binare Entwicklung zuordnen m-I LCl'21' X f----+ (co,cl, ... ,cm-d 1'=0 So wird also 1 mit (J(O), 1(1), ... , 1(n - 1)) identifiziert. Dieser binare Vektor der Lange n werde mit 1 bezeichnet. (ii) Jede Abbildung 1 ist eindeutig bestimmt durch ihren Trager M = {x E V I 1(x) = I} und das ist genau die charakteristische Funktion von M.

Falls nun l ein Teiler von e und (xn - 1) ist, so ist I ein Teiler von g. D 3. 8 Den ggT von zwei Polynomen berechnet man bekanntlich leicht mit dem Euklidischen Algorithmus. Man setze ro:= lund rl := 9 . Es gelte deg(ro) 2: deg(rt} ohne Einschrankung. Dann liefert die Division mit Rest ro r m -2 qm-l . rm-l rm-l qm . rm Der letzte Rest r m -I- 0 +0 + rm mit deg r2 < deg rl mit deg r3 < deg mit deg rm r2 < deg rm-l . ist der ggT. 9 (i) Es seien q und n teilerfremd. Es sei xn -1 = It· ... · It die Zerlegung von xn - 1 tiber IFq[X] in irreduzible normierte Faktoren.

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