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By Rainer Schulze-Pillot-Ziemen

Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verkn?pft und f?r die Verwendung in Bachelorstudieng?ngen und modularisierten Lehramtsstudieng?ngen konzipiert ist. Es f?hrt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der f?r Nichtspezialisten das n?tige Handwerkszeug f?r die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Besch?ftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und f?r diese eine gute Ausgangsbasis bildet.

F?r die zweite Auflage wurden Korrekturen vorgenommen, ferner wurden ein erg?nzendes Kapitel ?ber Galoistheorie und ein erg?nzender Abschnitt ?ber Anwendungen der Theorie endlicher K?rper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.

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Example text

Es gibt keine unendliche Folge von bj ∈ R, j ∈ N , so dass f¨ alle j gilt: bj+1 | bj und bj ist nicht assoziiert zu bj+1 . Ist n¨ amlich eine Folge von Ringelementen bj mit bj+1 | bj gegeben, so betrachten wir die Vereinigung I= ∞ j=1 (bj ) = {0} der von den bj erzeugten Ideale. Die Menge I ist ein Ideal in R, denn sind a1 , a2 ∈ I, so gibt es i, k ∈ N mit a1 ∈ (bi ), a2 ∈ (bk ), und mit ℓ = max{i, k} gilt a1 ∈ (bℓ ), a2 ∈ (bℓ ), da man (bj+1 ) ⊇ (bj ) wegen bj+1 | bj hat. Also ist a1 ± a2 ∈ (bℓ ) ⊆ I und xa1 ∈ (bℓ ) ⊆ I f¨ ur alle x ∈ R, was die Idealeigenschaft von I zeigt.

R. Czapor: Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers 2003 Joachim von zur Gathen, J¨ urgen Gerhard: Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 2. Auflage 2003 2 Teilbarkeit und Primzahlen In diesem Kapitel wollen wir die Teilbarkeitsrelation im Ring Z der ganzen Zahlen untersuchen. Wir werden dabei sehen, dass sich viele Eigenschaften der Teilbarkeit in Z bereits zeigen lassen, wenn man nur einen kleinen Teil der Struktur von Z voraussetzt; diese k¨ onnen also auf viele andere Ringe u ¨ bertragen werden, etwa auf Polynomringe in einer oder in mehreren Variablen.

Gilt. ) c) Berechnen Sie L2n − 5 Fib2n . Zeigen Sie, dass Fibn und Ln entweder beide gerade oder beide ungerade sind und dass der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von Fibn und Ln stets entweder 1 oder 2 ist. 7. Konstruieren Sie in den Ringen Z[X] und K[X, Y ] (K ein K¨orper) Ideale, die keine Hauptideale sind. Zeigen Sie in Ihren Beispielen, dass dennoch jeweils der gr¨ oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der die Ideale erzeugenden Elemente existiert. 8. Bestimmen Sie in Q[X] den normierten Erzeuger g des Ideals, das von den Polynomen f1 = (X − 1)2 (X + 2)2 (X − 3) = X 5 − X 4 − 9X 3 + 5X 2 + 16X − 12 , f2 = (X − 1)(X + 2)(X + 1)(X − 3) = X 4 − X 3 − 7X 2 + X + 6 , f3 = (X + 2)(X − 3)(X + 1)2 = X 4 + X 3 − 7X 2 − 13X − 6 erzeugt wird, sowie eine Darstellung g = h1 f 1 + h2 f 2 + h3 f 3 mit Polynomen hj ∈ Q[X].

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