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By Jürgen Müller

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Example text

1. F¨ ur x ∈ E ist K[x] = {P (x) : P ∈ K[X]} = spanK {xj : j ∈ N0 }, also K[x] insbesondere auch ein Untervektorraum des K-Vektorraumes E. Bezeichnet ϕx : K[X] → E den Auswertungsmorphismus auf K[X] bez¨ uglich x, so ist ϕx auch eine K-lineare Abbildung (man beachte: K[X] ist auch ein K-Vektorraum). Aus der Definition der Transzendenz ergibt sich unmittelbar, dass folgende Aussagen a¨quivalent sind: (i) x ist transzendent u ¨ber K. j (ii) (x )j∈N0 ist linear unabh¨angig im K-Vektorraum E. (iii) kern(ϕx ) = {0} (also ϕx : K[X] → E injektiv).

5. 4 Lineare Kongruenzen und Anwendungen 31 ¨ Beweis. 1. Sind x, x ∈ Z, so gilt die Aquivalenz mj |(x − x ) f¨ ur j ∈ {1, . . 3. 2. Nach 1. ist f wohldefiniert und injektiv. Wegen N # ×Z j=1 mj N = N mj = m = #Zm < ∞ #Zmj = j=1 j=1 ist f damit schon bijektiv. 3. Nach 2. existiert zu jedem Tupel (b1 , . . , bN ) ∈ ZN genau ein [x]m ∈ Zm mit ([x]m1 , . . , [x]mN ) = f ([x]m ) = ([b1 ]m1 , . . , [bN ]mN ). 3) wenn y ∈ [x]m gilt. 3 sei f¨ ur j ∈ {1, . . 1 ein xj ∈ Z existiert mit aj xj ≡ bj mod mj .

1 wegen ggT(6, 27) = 3 | 2 keine L¨osung. Von grundlegender Bedeutung ist das folgende Ergebnis u ¨ber simultane Kongruenzen. 3 Es seien m1 , . . , mN ∈ N paarweise teilerfremd und es sei m := N mj . j=1 1. F¨ ur x, x ∈ Z ist x ≡ x mod m genau dann, wenn x ≡ x mod mj f¨ ur j ∈ {1, . . , N } gilt. 2. Durch f [x]m := [x]m1 , . . , [x]mn f¨ ur [x]m ∈ Zm N wird eine Bijektion von Zm auf ×Z j=1 mj wohldefiniert. 3. (Chinesischer Restsatz)7 Sind b1 , . . , bN ∈ Z, so existiert ein x ∈ Z mit x ≡ bj mod mj f¨ ur j ∈ {1, .

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