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By Doz. Dr. Volker Reitmann (auth.)

Neben den Skripten für die Grundkurse "Gewöhnliche Differentialgleichungen" und "Mathematik für Physiker" sind vor allem die Vorlesung "Bifurkationstheorie dynamischer Systeme", "Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten" und "Dimension und Entropie in dynamischen Systemen" in das vorliegende Buch eingeflossen. Niederschlag fanden natürlich auch Erfahrungen der eigenen Forschungstätigkeit auf den Gebieten der Attraktorapproximation, der Stabilitätsanalyse und der Dimensionsabschätzung invarianter Mengen dynamischer Systeme. Das Anliegen des Autors ist es, die zum Teil recht unterschiedlichen Themenkreise zusammenhängend darzustellen, die von den Grundlagen bis hin zu den wichtigen Ergebnissen der modernen Forschung auf diesem Gebiet reichen.

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Reguläre und chaotische Dynamik

Neben den Skripten für die Grundkurse "Gewöhnliche Differentialgleichungen" und "Mathematik für Physiker" sind vor allem die Vorlesung "Bifurkationstheorie dynamischer Systeme", "Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten" und "Dimension und Entropie in dynamischen Systemen" in das vorliegende Buch eingeflossen.

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1) e tA 2} lle1AII 2 ~ 2 etiiAII für alle t ~ 0. = Ae1A = e1AA für alle t ER.. e

Ein einfacher Mechanismus, die Existenz von Milnor-Attraktoren abzusichern, besteht in folgendem. t(U) C U für t > 0 gilt. Die kleinste abgeschlossene Teilmenge A von M, die die w-Grenzmengen w(x) Lebesgue-fast aller Punktex aus U Teil I Dynamische Systeme 32 enthält, ist ein Milnor-Attraktor, zu dessen Einzugsgebiet offenbar Lebesgue-fast alle Punkte aus U zählen. 2 Dissipative Systeme Viele für die Anwendungen interessante dynamische Systeme besitzen kompakte global anziehende Mengen. Dazu zählen vor allem dissipative Systeme.

U C M sei eine offene Teilmenge. Jeder ek-Diffeomorphismus • : U -+ Ü mit Ü := •{U) C IRn wird ek-glatte Koordinatentransformation genannt. 10) in Ü. 10) auf[; sind in diesem Falle ek-konjugiert zueinander. B. [22, 7]). 3 {Hirsch/Smale). 1). 10} in Ü die Form ilt = 1, iJ2 = o, ... , Yn = 0 hat {Abb. 3). u x2 u Y2 u Xt a) b) Abb. 11 ). Wir betrachten die Abbildung~ : U-+ IR 2 einer beliebigen Kreisscheibe um (0, Of, gegeben durch ~(xt, x2) := (x1, x~ + x2f· Offenbar ist ~ ein Diffeomorphismus.

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